Une équipe de mathématiciens a-t-elle fait un grand pas en avant pour répondre à une question vieille de 160 millions de dollars en mathématiques?
Peut être. L'équipage a résolu un certain nombre d'autres questions plus petites dans un domaine appelé théorie des nombres. Et ce faisant, ils ont rouvert une ancienne avenue qui pourrait éventuellement conduire à une réponse à la vieille question: l'hypothèse de Riemann est-elle correcte?
L'hypothèse de Reimann est une conjecture mathématique fondamentale qui a d'énormes implications pour le reste des mathématiques. Il constitue le fondement de nombreuses autres idées mathématiques - mais personne ne sait si c'est vrai. Sa validité est devenue l'une des questions ouvertes les plus connues en mathématiques. C'est l'un des sept «problèmes du millénaire» énoncés en 2000, avec la promesse que celui qui les résoudra gagnera 1 million de dollars. (Un seul des problèmes a depuis été résolu.)
D'où est venue cette idée?
En 1859, un mathématicien allemand nommé Bernhard Riemann a proposé une réponse à une équation mathématique particulièrement épineuse. Son hypothèse est la suivante: la partie réelle de chaque zéro non trivial de la fonction zêta de Riemann est 1/2. C'est une déclaration mathématique assez abstraite, ayant à voir avec quels nombres vous pouvez mettre dans une fonction mathématique particulière pour rendre cette fonction égale à zéro. Mais cela s'avère très important, surtout en ce qui concerne la fréquence à laquelle vous rencontrerez des nombres premiers lorsque vous comptez vers l'infini.
Nous reviendrons sur les détails de l'hypothèse plus tard. Mais la chose importante à savoir maintenant est que si l'hypothèse de Riemann est vraie, elle répond à beaucoup de questions en mathématiques.
"Si souvent dans la théorie des nombres, ce qui finit par se produire, c'est que si vous supposez l'hypothèse de Riemann, vous êtes alors en mesure de prouver toutes sortes d'autres résultats", Lola Thompson, théoricienne des nombres à Oberlin College dans l'Ohio, qui n'était pas impliquée dans cette dernière recherche, a déclaré.
Souvent, a-t-elle déclaré à Live Science, les théoriciens des nombres prouveront d'abord que quelque chose est vrai si l'hypothèse de Riemann est vraie. Ensuite, ils utiliseront cette preuve comme une sorte de tremplin vers une preuve plus complexe, ce qui montre que leur conclusion initiale est vraie, que l'hypothèse de Riemann soit vraie ou non.
Le fait que cette astuce fonctionne, dit-elle, convainc de nombreux mathématiciens que l'hypothèse de Riemann doit être vraie.
Mais la vérité est que personne ne sait avec certitude.
Un petit pas vers une preuve?
Alors, comment cette petite équipe de mathématiciens a-t-elle semblé nous rapprocher d'une solution?
"Ce que nous avons fait dans notre article", a déclaré Ken Ono, théoricien des nombres à l'Université Emory et co-auteur de la nouvelle preuve, "c'est que nous avons revu un critère très technique qui est équivalent à l'hypothèse de Riemann ... et nous avons prouvé une grande Nous avons prouvé une grande partie de ce critère. "
Un «critère qui est équivalent à l'hypothèse de Riemann», dans ce cas, se réfère à une déclaration distincte qui est mathématiquement équivalente à l'hypothèse de Riemann.
Il n'est pas évident à première vue pourquoi les deux déclarations sont si liées. (Le critère a à voir avec quelque chose appelé "l'hyperbolicité des polynômes de Jensen.") Mais dans les années 1920, un mathématicien hongrois nommé George Pólya a prouvé que si ce critère est vrai, alors l'hypothèse de Riemann est vraie - et vice versa. C'est une ancienne voie proposée pour prouver l'hypothèse, mais qui avait été largement abandonnée.
Ono et ses collègues, dans un article publié le 21 mai dans la revue Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS), ont prouvé que dans de très nombreux cas, le critère est vrai.
Mais en mathématiques, beaucoup ne suffit pas pour constituer une preuve. Il y a encore des cas où ils ne savent pas si le critère est vrai ou faux.
"C'est comme jouer à un Powerball à un million", a expliqué Ono. "Et vous connaissez tous les chiffres, sauf les 20 derniers. Si même l'un de ces 20 derniers numéros est erroné, vous perdez. ... Il pourrait encore s'effondrer."
Les chercheurs devraient trouver une preuve encore plus avancée pour montrer que le critère est vrai dans tous les cas, prouvant ainsi l'hypothèse de Riemann. Et on ne sait pas à quelle distance une telle preuve est loin, a déclaré Ono.
Alors, quelle importance a ce papier?
En ce qui concerne l'hypothèse de Riemann, il est difficile de dire à quel point c'est important. Cela dépend beaucoup de ce qui se passe ensuite.
"Ce n'est là qu'une des nombreuses formulations équivalentes de l'hypothèse de Riemann", a déclaré Thompson.
En d'autres termes, il y a beaucoup d'autres idées qui, comme ce critère, prouveraient que l'hypothèse de Riemann est vraie si elles étaient elles-mêmes prouvées.
"Donc, il est vraiment difficile de savoir à quel point il s'agit de progrès, parce que d'une part, il a progressé dans cette direction. Mais, il y a tellement de formulations équivalentes que cette direction ne va peut-être pas donner l'hypothèse de Riemann. les autres théorèmes équivalents le seront plutôt, si quelqu'un peut en prouver un », a déclaré Thompson.
Si la preuve se révèle le long de cette piste, cela signifiera probablement qu'Ono et ses collègues ont développé un cadre sous-jacent important pour résoudre l'hypothèse de Riemann. Mais s'il se présente ailleurs, ce document se révélera moins important.
Pourtant, les mathématiciens sont impressionnés.
"Bien que cela reste loin de prouver l'hypothèse de Riemann, c'est un grand pas en avant", a écrit Encrico Bombieri, un théoricien des nombres de Princeton qui n'était pas impliqué dans les recherches de l'équipe, dans un article PNAS du 23 mai. "Il ne fait aucun doute que cet article inspirera d'autres travaux fondamentaux dans d'autres domaines de la théorie des nombres ainsi qu'en physique mathématique."
(Bombieri a remporté une médaille Fields - le prix le plus prestigieux en mathématiques - en 1974, en grande partie pour des travaux liés à l'hypothèse de Riemann.)
Que signifie de toute façon l'hypothèse de Riemann?
J'ai promis que nous y reviendrions. Voici à nouveau l'hypothèse de Riemann: la partie réelle de chaque zéro non trivial de la fonction zêta de Riemann est 1/2.
Décomposons cela selon la façon dont Thompson et Ono l'ont expliqué.
Tout d'abord, quelle est la fonction zêta de Riemann?
En mathématiques, une fonction est une relation entre différentes quantités mathématiques. Un simple pourrait ressembler à ceci: y = 2x.
La fonction zêta de Riemann suit les mêmes principes de base. Seulement, c'est beaucoup plus compliqué. Voici à quoi ça ressemble.
C'est la somme d'une séquence infinie, où chaque terme - les premiers sont 1/1 ^ s, 1/2 ^ s et 1/3 ^ s - est ajouté aux termes précédents. Ces ellipses signifient que la série dans la fonction continue comme ça, pour toujours.
Nous pouvons maintenant répondre à la deuxième question: qu'est-ce qu'un zéro de la fonction zêta de Riemann?
C'est plus simple. Un "zéro" de la fonction est n'importe quel nombre que vous pouvez mettre pour x qui fait que la fonction est égale à zéro.
Question suivante: Quelle est la "vraie partie" de l'un de ces zéros, et qu'est-ce que cela signifie qu'il est égal à 1/2?
La fonction zêta de Riemann implique ce que les mathématiciens appellent des «nombres complexes». Un nombre complexe ressemble à ceci: a + b * i.
Dans cette équation, "a" et "b" représentent tous les nombres réels. Un nombre réel peut être compris entre moins 3, zéro, 4,9234, pi ou 1 milliard. Mais il y a un autre type de nombre: les nombres imaginaires. Les nombres imaginaires émergent lorsque vous prenez la racine carrée d'un nombre négatif, et ils sont importants, apparaissant dans toutes sortes de contextes mathématiques.
Le nombre imaginaire le plus simple est la racine carrée de -1, qui s'écrit "i". Un nombre complexe est un nombre réel ("a") plus un autre nombre réel ("b") fois i. La «partie réelle» d'un nombre complexe est que «a».
Quelques zéros de la fonction zêta de Riemann, entiers négatifs entre -10 et 0, ne comptent pas pour l'hypothèse de Reimann. Ceux-ci sont considérés comme des zéros «triviaux» car ce sont des nombres réels, pas des nombres complexes. Tous les autres zéros sont des nombres "non triviaux" et complexes.
L'hypothèse de Riemann stipule que lorsque la fonction zêta de Riemann croise zéro (à l'exception des zéros compris entre -10 et 0), la partie réelle du nombre complexe doit être égale à 1/2.
Cette petite affirmation peut ne pas sembler très importante. Mais il est. Et nous serons peut-être un peu plus jeunes pour le résoudre.
